Hello，大家好~
今天咱们拿出来比较重要的一块和大家分享，那就是机器学习中的优化算法。
优化算法在机器学习中至关重要，它们决定了模型参数的更新方式，直接影响着模型的收敛速度和性能表现。选择合适的优化算法可以加快模型的训练速度、提高模型的准确性，并且对于处理大规模数据集和复杂模型具有重要意义。
今天涉及到内容包括以下：
梯度下降算法 动量梯度下降 Nesterov加速梯度 AdaGrad RMSProp Adam AdaDelta Nadam L-BFGS CMA-ES
梯度下降算法（Gradient Descent）
原理：梯度下降算法通过迭代地调整模型参数，以使损失函数逐步减小。每一步调整的方向是当前点的梯度负方向，调整的步长由学习率决定。
公式：
其中，是参数，是学习率，是损失函数，是梯度。
核心代码：
def gradient_descent(X, y, theta, alpha, num_iters):
m = len(y)
for i in range(num_iters):
gradient = X.T @ (X @ theta - y) / m
theta = theta - alpha * gradient
return theta
动量梯度下降（Gradient Descent with Momentum）
原理：在梯度下降的基础上加入动量项，使得优化路径上的振荡减小，加速收敛。
公式：
其中，是动量，是动量衰减因子。
核心代码：
def momentum_gradient_descent(X, y, theta, alpha, beta, num_iters):
m = len(y)
v = np.zeros_like(theta)
for i in range(num_iters):
gradient = X.T @ (X @ theta - y) / m
v = beta * v + (1 - beta) * gradient
theta = theta - alpha * v
return theta
Nesterov加速梯度（Nesterov Accelerated Gradient, NAG）
原理：在动量梯度下降的基础上，提前计算未来位置的梯度，提高收敛速度。
公式：
核心代码：
def nesterov_accelerated_gradient(X, y, theta, alpha, beta, num_iters):
m = len(y)
v = np.zeros_like(theta)
for i in range(num_iters):
temp_theta = theta - alpha * beta * v
gradient = X.T @ (X @ temp_theta - y) / m
v = beta * v + (1 - beta) * gradient
theta = theta - alpha * v
return theta
AdaGrad（Adaptive Gradient Algorithm）
原理：根据每个参数的历史梯度自适应地调整学习率，适合处理稀疏数据。
公式：
其中，是梯度的累计平方，是平滑项，防止除零。
核心代码：
def adagrad(X, y, theta, alpha, num_iters, epsilon=1e-8):
m = len(y)
G = np.zeros_like(theta)
for i in range(num_iters):
gradient = X.T @ (X @ theta - y) / m
G += gradient ** 2
theta = theta - alpha / (np.sqrt(G + epsilon)) * gradient
return theta
RMSProp（Root Mean Square Propagation）
原理：改进了AdaGrad，通过使用梯度的指数加权移动平均值来调整学习率。
公式：
核心代码：
def rmsprop(X, y, theta, alpha, beta, num_iters, epsilon=1e-8):
m = len(y)
E_g2 = np.zeros_like(theta)
for i in range(num_iters):
gradient = X.T @ (X @ theta - y) / m
E_g2 = beta * E_g2 + (1 - beta) * gradient ** 2
theta = theta - alpha / (np.sqrt(E_g2 + epsilon)) * gradient
return theta
Adam（Adaptive Moment Estimation）
原理：结合了动量和RMSProp的优点，使用梯度的动量估计和平方梯度的加权平均来调整学习率。
公式：
核心代码：
def adam(X, y, theta, alpha, beta1, beta2, num_iters, epsilon=1e-8):
m = len(y)
m_t = np.zeros_like(theta)
v_t = np.zeros_like(theta)
for t in range(1, num_iters + 1):
gradient = X.T @ (X @ theta - y) / m
m_t = beta1 * m_t + (1 - beta1) * gradient
v_t = beta2 * v_t + (1 - beta2) * gradient ** 2
m_t_hat = m_t / (1 - beta1 ** t)
v_t_hat = v_t / (1 - beta2 ** t)
theta = theta - alpha * m_t_hat / (np.sqrt(v_t_hat) + epsilon)
return theta
AdaDelta
原理：对AdaGrad进行改进，克服了其学习率不断下降的问题，通过引入一个基于梯度的指数加权移动平均值来调整步长。
公式：
核心代码：
def adadelta(X, y, theta, rho, num_iters, epsilon=1e-8):
m = len(y)
E_g2 = np.zeros_like(theta)
E_delta_theta2 = np.zeros_like(theta)
for i in range(num_iters):
gradient = X.T @ (X @ theta - y) / m
E_g2 = rho * E_g2 + (1 - rho) * gradient ** 2
delta_theta = - (np.sqrt(E_delta_theta2 + epsilon) / np.sqrt(E_g2 + epsilon)) * gradient
theta = theta + delta_theta
E_delta_theta2 = rho * E_delta_theta2 + (1 - rho) * delta_theta ** 2
return theta
Nadam（Nesterov-accelerated Adaptive Moment Estimation）
原理：结合了Nesterov加速和Adam算法的优点，通过提前计算未来位置的梯度和动量估计来加速收敛。
公式：
核心代码：
def nadam(X, y, theta, alpha, beta1, beta2, num_iters, epsilon=1e-8):
m = len(y)
m_t = np.zeros_like(theta)
v_t = np.zeros_like(theta)
for t in range(1, num_iters + 1):
gradient = X.T @ (X @ theta - y) / m
m_t = beta1 * m_t + (1 - beta1) * gradient
v_t = beta2 * v_t + (1 - beta2) * gradient ** 2
m_t_hat = m_t / (1 - beta1 ** t)
v_t_hat = v_t / (1 - beta2 ** t)
theta = theta - alpha * ((beta1 * m_t_hat + (1 - beta1) * gradient / (1 - beta1 ** t)) / (np.sqrt(v_t_hat) + epsilon))
return theta
L-BFGS（Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）
原理：一种拟牛顿法，适用于中小型数据集上的高维优化问题，使用历史梯度和参数更新信息来构建近似Hessian矩阵。涉及复杂的矩阵操作，使用历史梯度和参数更新信息来更新参数。
核心代码：
from scipy.optimize import fmin_l_bfgs_b
def lbfgs(X, y, theta):
def loss_and_grad(theta):
loss = np.sum((X @ theta - y) ** 2) / (2 * len(y))
gradient = X.T @ (X @ theta - y) / len(y)
return loss, gradient
theta, _, _ = fmin_l_bfgs_b(loss_and_grad, theta)
return theta
CMA-ES（Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy）
原理：一种进化策略优化算法，适用于全局优化和非凸优化问题，通过更新协方差矩阵来调整搜索策略。基于进化策略的迭代更新，涉及种群生成、选择、变异和协方差矩阵更新等。
核心代码：
import cma
def cma_es(X, y, theta):
def loss(theta):
return np.sum((X @ theta - y) ** 2) / (2 * len(y))
es = cma.CMAEvolutionStrategy(theta, 0.5)
es.optimize(loss)
return es.result.xbest
这些代码示例为核心实现，实际应用中可能需要进一步调整和优化。
最后
